题目

若不等式x²+2+|x³-2x|≥ax对x∈（0，4）恒成立，则实数a的取值范围是 ⊙ ___ ．

提问时间：2020-11-02

答案

不等式x²+2+|x³-2x|≥ax对x∈（0，4）恒成立，即对x∈（0，4）总有y=x²+2+|x³-2x|图象总在y=ax图象的上方，如图
 从图象上看函数y=x²+2+|x³-2x|在变化趋势是先增后减再增，其中点M（

2

，4）是一极小值点，在图中作出y=ax图象
  由图象可以看出只要y=ax图象在点M不超过点M，则一定可以保证对x∈（0，4）总有y=x²+2+|x³-2x|图象总在y=ax图象的上方，
 故直线y=ax的斜率a≤k_OM=2

2

 则实数a的取值范围是(-∞ ， 2

2

]
 故答案为(-∞ ， 2

2

]

不等式x²+2+|x³-2x|≥ax对x∈（0，4）恒成立，即y=x²+2+|x³-2x|图象总在y=ax图象的上方，故可作出y=x²+2+|x³-2x|图象，利用图象来进行比较，

本题考点：不等式；函数恒成立问题．

考点点评：本题考点是不等式，是一个在不等式恒成立的条件下求的参数的题，本题求解此题时将其变成了两个函数图象之间上下位置关系的恒成立，构思巧妙，值得借鉴．