题目

若实数a,b,c,d满足(b+a^2-3lna)+(c-d+2)^2=0,则(a-c)^2+(b-d)^2的最小值

提问时间：2020-11-02

答案

答：
实数a、b、c、d满足：
|b+a^2-3lna|+(c-d+2)^2=0
则有：
b+a^2-3lna=0,设b=y,a=x,则有：y=3lnx-x^2
c-d+2=0,设c=x,d=y,则有：y=x+2
所以：
(a-c)^2+(b-d)^2就是曲线y=3lnx-x^2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值
对曲线y=3lnx-x^2求导：
y'(x)=3/x-2x
与y=x+2平行的切线斜率k=1=3/x-2x
解得：x=1（x=-3/2<0不符合舍去）
x=1代入y=3lnx-x^2得：y=-1
所以：切点为（1,-1）
切点到直线y=x+2的距离：
L=|1+1+2|/√(1^2+1^2)=2√2
所以：L^2=8
所以：(a-c)^2+(b-d)^2的最小值就是8