题目

（2014•淄博三模）若实数a，b，c，d满足（b+a²-3lna）²+（c-d+2）²=0，则（a-c）²+（b-d）²的最小值为（　　）
A.

2

B. 2
C. 2

2

D. 8

提问时间：2020-11-02

答案

解∵实数a、b、c、d满足：（b+a2-3lna）2+（c-d+2）2=0，∴b+a2-3lna=0，设b=y，a=x，则有：y=3lnx-x2，且c-d+2=0，设c=x，d=y，则有：y=x+2，∴（a-c）2+（b-d）2就是曲线y=3lnx-x2与直线y=x+2之间的最小距离的平方...

由题设b+a²-3lna=0，设b=y，a=x，得到y=3lnx-x²；c-d+2=0，设c=x，d=y，得到y=x+2，所以（a-c）²+（b-d）²就是曲线y=3lnx-x²与直线y=x+2之间的最小距离的平方值，由此能求出（a-c）²+（b-d）²的最小值．

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；两点间距离公式的应用．

考点点评：本题考查对数运算法则的应用，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用．