题目

已知n>m>0,不等式ax^2+bx+c>0的解集为(m,n),求不等式(a+c-b)x^2+(b-2a)x+a>0的解集?

提问时间：2020-11-02

答案

由题设可知a<0,原不等式可化为x^2+(b/a)x+(c/a)=(x-m)(x-n)<0
再应用韦达定理 m+n=-b/a,mn=c/a
所以(a+c-b)/a=1+mn+m+n,(2a-b)/a=2+m+n,
所考察的不等式等价于(mn+m+n+1)x^2-(m+n+2)x+1<0
也即(m+1)(n+1)x^2-[(m+1)+(n+1)]x+1<0
整理化为[(m+1)x-1][(n+1)x-1]<0
解得(m+1)x<1且(n+1)x>1,从而1/(n+1)即所考察不等式的解集是(1/(n+1),1/(m+1))