题目

已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+x²，若存在正数a，b，使得当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[

1

b

，

1

a

]，则a+b=（　　）
A. 1
B.

1+ 5

2

C. 1+

5

2

D.

3+ 5

2

提问时间：2020-11-02

答案

设x＞0，有-x＜0，则f（-x）=-2x+x²，
又由y=f（x）是定义在R上的奇函数，则f（-x）=-f（x），
则x＞0时，f（x）=2x-x²，
对于a、b分三种情况讨论：
①、当a＜1＜b时，f（x）=2x-x²的最大值为1；得

1

a

=1，即a=1，不合题意，舍去，
②、当a＜b＜1时，f（a）＜1，f（b）＜1且在[a，b]上单调增，而

1

a

＞1，不合题意，舍去，
③、当1≤a＜b时，f（x）在[a，b]上单调减，可得

f(a)＝ 1 a f(b)＝ 1 b

，解可得a=1，b=

1+ 5

2

，符合题意，
则a+b=

3+ 5

2

；
故选D．

根据题意，先由奇函数的性质，分析可得x＞0时，f（x）=2x-x²，对于正实数a、b，分三种情况讨论：①、当a＜1＜b时，②、当a＜b＜1时，③、当1≤a＜b时，结合二次函数的性质，分析可得a、b的值，将其相加可得答案．

本题考点：奇偶性与单调性的综合．

考点点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，涉及二次函数的性质，注意先由奇函数的性质，求出x＞0时，f（x）的解析式．