题目

判别式法求值域
碰到什么形式该用此方法?怎么用?注意事项?

提问时间：2020-11-02

答案

对于分式函数 y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) ：
由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程 y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有实数解,因此“求f(x)的值域.”这一问题可转化为“已知关于x的方程 y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有实数解,求y的取值范围.”
把x作为未知量,y看作常量,将原式化成关于x的一元二次方程形式（＊）,令这个方程有实数解,然后对二次项系数是否为零加以讨论：
（1）当二次项系数为0时,将对应的y值代入方程（＊）中进行检验以判断y的这个取值是否符合x有实数解的要求,……
（2）当二次项系数不为0时,∵x∈R,∴Δ≥0,……
此时直接用判别式法是否有可能产生增根,关键在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形.
原问题“求f(x)的值域.”进一步的等价转换是“已知关于x的方程 y(dx^2+ex+f)=ax^2+bx+c 至少有一个实数解使得 dx^2+ex+f≠0,求y的取值范围.”
【举例说明】
1、当函数的定义域为实数集R时
例1 求函数y=(x^2-2x+1)/(x^2+x+1)的值域.
由于x^2+x+1=(x+12)^2+34>0,所以函数的定义域是R.
去分母：y(x^2+x+1)=x^2-2x+1,移项整理得(y-1)x^2+(y+2)x+(y-1)=0.（＊）
(1)当y≠1时,由△≥0得0≤y≤4;
(2)当y=1时,将其代入方程（＊）中得x=0.
综上所述知原函数的值域为〔0,4〕.
2、当函数的定义域不是实数集R时
例2 求函数y=(x^2-2x+1)/(x^2+x-2)的值域.
由分母不为零知,函数的定义域A={x|x≠-2且x≠1}.
去分母：y(x^2+x-2)=x^2-2x+1,移项整理得(y-1)x^2+(y+2)x-(2y+1)=0.（＊）
(1)当y≠1时,由△≥0得y^2≥0�y∈R.
检验：由△=0得y=0,将y=0代入原方程求得x=1,这与原函数定义域A相矛盾,
所以y≠0.
(2)当y=1时,将其代入方程（＊）中得x=1,这与原函数定义域A相矛盾,
�
所以y≠1.
综上所述知原函数的值域为{y|y≠0且y≠1}.