题目

设数列{a_n}前n项和为S_n，数列{S_n}的前n项和为T_n，满足T_n=2S_n-n²，n∈N^*．
（1）求a₁的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

提问时间：2020-11-02

答案

（1）当n=1时，T₁=2S₁-1
因为T₁=S₁=a₁，所以a₁=2a₁-1，求得a₁=1
（2）当n≥2时，
Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-[2Sn-1-(n-1)2]=2Sn-2Sn-1-2n+1
所以S_n=2S_n-1+2n-1①
所以S_n+1=2S_n+2n-1②
②-①得 a_n+1=2a_n+2
所以a_n+1+2=2（a_n+2），即

an+1+2

an+2

=2（n≥2）
求得a₁+2=3，a₂+2=6，则

a2+2

a1+2

=2
所以{a_n+2}是以3为首项，2为公比的等比数列
所以an+2=3•2n-1
所以an=3•2n-1-2，n∈N^*．