题目

高一期末数学数列压轴题数列相关问题 求具体过程 谢谢!
在数列{An}中,A1=2, A（n+1）=kAn+k^(n+1)+(2-k)2^n, 其中k>0,n属于正整数
(1)求数列{An}的通项公式
(2)求数列{An}的前n项和Sn

提问时间：2020-11-02

答案

一楼的思路很清晰,有些瑕疵：
U(n+1)=U(n)+1,其中U(1)=2/k-2/k=0.
U(n)=n-1.
所以通项为:A(n)=(n-1)k^n+2^n .
(2)
因为要用到等比数列的求和,要讨论一下公比是否为1.
当k=1时,
An=(n-1)+2^n
Sn=n(n-1)/2+2^(n+1)-2.
k≠1时
令B(n)=(n-1)k^n.
记{B(n)}的前n项和为Tn,
错位相减：
Tn=k^2+2k^3+3k^4+...+(n-1)k^n;
kTn= k^3+2k^4+...+(n-2)k^n+(n-1)k^(n+1);
(1-k)Tn=k^2+k^3+k^4+...+k^n-(n-1)k^(n+1).
(1-k)Tn=k(k+k^2+..+k^n)-nk^(n+1)
=k[k^(n+1)-1]/(k-1)-nk^(n+1).
所以Tn=[(n-1)k^(n+2)-nk^(n+1)+k]/(k-1)^2.
所以Sn=Tn+2+2^2+2^3+...+2^n=
[(n-1)k^(n+2)-nk^(n+1)+k]/(k-1)^2+2^(n+1)-2.