题目

什么是内插法?能举个简单的例子说明一下吗?

提问时间：2020-11-02

答案

介绍
又称插值法.根据未知函数f(x)在某区间内若干点的函数值,作出在该若干点的函数值与f(x)值相等的特定函数来近似原函数f(x),进而可用此特定函数算出该区间内其他各点的原函数f(x)的近似值,这种方法,称为内插法.按特定函数的性质分,有线性内插、非线性内插等；按引数(自变量)个数分,有单内插、双内插和三内插等.我国古代早就发明了内插法,当时称为招差术,如公元前1世纪左右的《九章算术》中的“盈不足术”即相当于一次差内插(线性内插)；隋朝作《皇极历》的刘焯发明了二次差内插(抛物线内插)；唐朝作《太衍历》的僧一行又发明了不等间距的二次差内插法；元朝作《授时历》的郭守敬进一步发明了三次差内插法.在刘焯1000年后,郭守敬400年后,英国牛顿才提出内插法的一般公式.
内插法,一般是指数学上的直线内插,利用等比关系,是用一组已知的未知函数的自变量的值和与它对应的函数值来求一种求未知函数其它值的近似计算方法,是一种未知函数,数值
内插法
逼近求法,天文学上和农历计算中经常用的是白塞尔内插法,可参考《中国天文年历》的附录.另外还有其他非线性内插法：如二次抛物线法和三次抛物线法.因为是用别的线代替原线,所以存在误差.可以根据计算结果比较误差值,如果误差在可以接受的范围内,才可以用相应的曲线代替.一般查表法用直线内插法计算.
原理
数学内插法即“直线插入法”.其原理是,若A(i1,b1),B(i2,b2)为两点,则点P（i,b)在上述两点确定的直线上.而工程上常用的为i在i1,i2之间,从而P在点A、B之间,故称“直线内插法”.
数学内插法说明点P反映的变量遵循直线AB反映的线性关系.
上述公式易得.A、B、P三点共线,则
(b-b1)/(i-i1)=（b2-b1)/(i2-i1)=直线斜率,变换即得所求.
具体方法
综述
求得满足以下函数的两个点,假设函数为线性函数,通过简单的比例式求出租赁利率.
公式
以每期租金先付为例,函数如下：
A表示租赁开始日租赁资产的公平价值； R表示每期租金数额；
S表示租赁资产估计残值；
n表示租期；
r表示折现率.
通过简单的试错,找出二个满足上函数的点（a1,b1）（a2,b2）,然后,利用对函数线性的假设,通过以下比例式求出租赁利率
二次抛物线内插法
设二次抛物线关系式：y = f(x),要计算在x = x0点的函数.已知f(x1)、f(x2）和f(x3),其中x1 < x2 < x3,x1 < x0 < x3,则在x0点的函数值：f(x0)= f(x1)*(x2-x0 ) *( x3- x0) / ((x3 - x1) *(x2 - x1) )+f(x2) *( x1- x0)*( x3- x0) / ((x3 - x2) *(x1 - x2) ) +f(x3)*(x2-x0 ) *( x1- x0) / ((x1 -x3 ) *( x2- x3) ).显然本式也适合外插计算.
线性关系和三次以上抛物线可仿上式,很容易得出.