题目

线性代数中为什么正定矩阵的主对角线上的元素都大于0?

提问时间：2020-11-02

答案

设M是n阶实系数对称矩阵, 如果对任何非零向量
X=(x_1,...x_n) 都有 XMX′>0,就称M正定(Positive Definite).
正定矩阵在相合变换下可化为标准型, 即单位矩阵.
所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米矩阵）也是正定矩阵.
另一种定义：一种实对称矩阵.正定二次型f(x1,x2,…,xn)=X′AX的矩阵A(A′)称为正定矩阵.
正定矩阵的一些判别方法
由正定矩阵的概念可知,判别正定矩阵有如下方法：
1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数.
证明：若 , 则有
∴λ＞0
反之,必存在U使
即 ： A正定
由上面的判别正定性的方法,不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负.
特征值都在主对角线上运算你知道的吧.