题目

设函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1处取得极值-2，试用c表示a和b，并求f（x）的单调区间．

提问时间：2020-11-02

答案

依题意有f（1）=-2，f′（1）=0，而f′（1）=3x²+2ax+b，
故

1+a+b+c＝−2 3+2a+b＝0

解得

a＝c b＝−2c−3

从而f′（x）=3x²+2cx-（2c+3）=（3x+2c+3）（x-1）．
令f′（x）=0，得x=1或x＝−

2c+3

3

．
由于f（x）在x=1处取得极值，故−

2c+3

3

≠1，即c≠-3．
若−

2c+3

3

＞1，即c＜-3，
则当x∈(−∞，−

2c+3

3

)时，f′（x）＞0；
当x∈(−

2c+3

3

，1)时，f′（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
从而f（x）的单调增区间为(−∞，−

2c+3

3

]，[1，+∞)；单调减区间为[−

2c+3

3

，1]
若−

2c+3

3

＜1，即c＞-3，
同上可得，f（x）的单调增区间为(−∞，1]，[−

2c+3

3

，+∞)；单调减区间为[1，−

2c+3

3

]

根据题意，先求导，由函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1处取得极值-2，的f′（1）=0，f（1）=-2，可得用c表示a和b；令导数f′（x）=0，比较根的大小，确定函数f（x）的单调区间．

本题考点：利用导数研究函数的极值．

考点点评：考查利用导数研究函数的单调性和极值，即函数在某点取得极值的条件，体现方程的思想，特别讨论函数的单调性，比较两根的大小，体现了分类讨论的思想方法，属难题．