题目

已知函数f（x）=ax²-（2a-1）x-lnx（a∈R且a≠0）
（Ⅰ）当a=2时，判断函数f（x）在区间（

1

e

 ， e）上的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）若函数f（x）在（1，e）上是单调函数，求a的取值范围．

提问时间：2020-11-02

答案

（I）当a=2时，f（x）=2x²-3x-lnx
f'（x）=4x-3-

1

x

=

(4x+1)(x-1)

x

∴当x∈（

1

e

，1）时，f'（x）＜0，当x∈（1，e）时，f'（x）＞0
即f（x）在（

1

e

，1）上递减，在（1，e）上递增，
∵f（1）=-1＜0，f（

1

e

）=

(e-1)(e-2)

e2

＞0，f（e）=2e²-3e-1＞0
∴函数f（x）在区间（

1

e

 ， e）上有两个零点
（ II）∵a≠0f′(x)=

(2ax+1)(x-1)

x

∴f'（x）=0的根是1 ， -

1

2a

…（8分）
当-

1

2a

≤1时，f'（x）在（1，e）上恒大于0，或者恒小于0，
∴函数f（x）在（1，e）上单调，
故a＞0 或a≤-

1

2

…（11分）
当-

1

2a

＞1时，若函数f（x）在（1，e）上单调，则-

1

2a

≥e，故-

1

2e

≤a＜0，…（14分）
综上a≤-

1

2

或-

1

2e

≤a＜0或a＞0．…．…（15分）

（I）欲判断函数f（x）在区间（

1

e

 ， e）上的零点个数，先要研究函数在（

1

e

，e）上的单调性，然后求出端点的函数值和极值，判定符号，根据根的存在性定理可判定；
（ II）欲使函数f（x）在（1，e）上是单调函数，只需极值点不在区间（1，e）上即可．

本题考点：A:利用导数研究函数的单调性 B:函数的零点

考点点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值和根的存在性定理，同时考查了转化的思想和计算能力，属于中档题．