题目

已知双曲线C的一个顶点为P(0,√2),它的两条渐近线经过原点,并且都与圆(x-√2)2+y^2=1相切
已知双曲线C的一个顶点为P(0,√2),
它的两条渐近线经过原点,
并且都与圆(x-√2)2+y^2相切
（1）求双曲线C的方程
（2）过M（0,2√2）做倾斜角为a的直线交双曲线于A B
两点且a[0,π/4）
求三角形 APB的面积的最小值及取得最小值时a的值

提问时间：2020-11-01

答案

设双曲线方程为y²/2 - x²/a²=1,连接圆心和第一象限的切点,构成一个直角三角形,斜边长√2,一条直角边长1,由勾股定理可知另一条直角边也为1,且渐近线与x轴成45°,所以渐近线方程为y=±x,即a=b=√2
故双曲线方程为y²/2 - x²/2=1
设直线AB斜率为k,则k=tana,0≤k<1
直线AB方程为y=kx+2√2,与双曲线方程联立消去y得：
(1-k²)x²-4√2kx-6=0,由韦达定理得：
Xa+Xb=4√2k/(1-k²),XaXb=-6/(1-k²)
△APB的面积S=|MP|*|Xa-Xb|/2=√2|Xa-Xb|/2
S²=|Xa-Xb|²/2=(Xa+Xb)²/2 -2XaXb
=16k²/(1-k²)² + 12/(1-k²)
=28/(1-k²) -16 ≥28-16=12
所以S≥4√3,当且仅当k=0,即a=0时等号成立.