题目

设a为实数,函数f（x）=x²+（x-a）的绝对值+1,x属于R
1.讨论f（x）的奇偶性
2.求f（x）的最小值

提问时间：2020-11-01

答案

奇函数：f(-x)=-f(x),奇函数一定过原点
偶函数：f(-x)=f(x),偶函数一定关于y轴对称
（1）
1`当a=0时,函数f(-x)=(-x)² +|-x|+1=f(x)
所以f(x)为偶函数
2`当a不等于0
f(a)=a²+1,f(-a)=a²+2|a|+1,f(a)≠f(-a),f(-a)≠-f(a)
此时函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数
（2）
①`当x小于等于a,函数f(x)=x²-x+a+1=(x-1/2)²+a+3/4
若a小于等于1/2,则函数在（-∞,a]上单调递减,从而,函数在（-∞,a]世且f(x)小于等于f(a)的最小值为f(a)=a²+1
若a大于1/2,则y在（-∞,a]的最小值是f(1/2)=a+3/4
②当x大于等于a,f(x)=x²+2x-a+1=(x+1/2)²+a+3/4
所以
a小于等于-1/2,则函数在[a,+∞)最小值为f(-1/2)=3/4-a
若a大于1／2,则在[a,+∞)单调递减,在[a,+∞)的最小值为f(a)=a²+1
所以①②知,当a小于等于-1/2最小值为3/4-a
当-1/2小于a小于等于1/2,最小值为a²+1
a大于1/2,最小值为a+3/4
如有不懂再找我