题目

请教高手线性代数证明题：矩阵A和单位矩阵E合同,求证A的特征值都大于0

提问时间：2020-11-01

答案

方法很多,一种做法如下：
A的单位矩阵合同,则存在可逆矩阵C,使得A＝C'C,这里C'表示转置
设A的任一特征值是λ,相应的特征向量是x,则Ax＝λx,即C'Cx＝λx
两边同时左乘以x',得(Cx)'(Cx)＝λ(x'x)
因为x≠0,C可逆,所以Cx≠0,所以(Cx)'(Cx)＞0,x'x＞0,所以λ＞0
由λ的任意性得A的所有特征值都大于0