题目

已知直线y=x+b与双曲线2x²-y²=2相交于A、B两点，若OA⊥OB，求b的值．

提问时间：2020-11-01

答案

y＝x+b 2x2−y2＝2

消元得：x²-2bx-b²-2=0，
△=4b²-4（-b²-2）=8b²+8＞0
∴x₁+x₂=2b，x₁x₂=-b²-2
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）-------（3分）
因为OA⊥OB⇒x₁x₂+y₁y₂=0⇒x₁x₂+（x₁+b）（x₂+b）=0，
即：2x₁x₂+b（x₁+x₂）+b²=0-------（7分）
所以：2（-b²-2）+3b²=0⇒b²=4
⇒b=±2------（12分）．

先将直线与双曲线联立得到的关于x的一元二次方程有两根，除满足△≥0外，还需满足由OA⊥OB⇒x1x2+y1y2=0，求出b值．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系、韦达定理在直线与双曲线位置关系判断中的应用，注意设而不求思想的应用．