题目

设a为实数,函数f(x)=x³-ax²+（a²-1)x在（-∞,0）和（1,+∞）上都是增函数,求a范围

提问时间：2020-11-01

答案

答：
f(x)=x³-ax²+(a²-1)x在x<0和x>1上都是单调递增函数
求导：
f'(x)=3x²-2ax+a²-1>=0在x<0和x>1上恒成立
抛物线f'(x)开口向上,对称轴x=a/3
在抛物线的两个零点都在区间[0,1]上,或者不存在零点
1）
两个零点在区间[0,1]上
f'(0)=a²-1>=0并且f'(1)=3-2a+a²-1>=0,并且0<=x=a/3<=1
解得：
a>=1或者a<=-1
0<=a<=3
所以：1<=a<=3
2）
最多1个零点,则判别式=(-2a)²-4*3(a²-1)<=0
所以：a²-3a²+3<=0
所以：2a²>=3
所以：a²>=3/2
解得：a>=√6/2或者a<=-√6/2
综上所述,a>=1或者a<=-√6/2