题目

数列{a_n}的前n项和记作S_n，满足 S_n=2a_n+3n-12（n∈N^*）
（Ⅰ）证明数列{a_n-3}为等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=na_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

提问时间：2020-11-01

答案

（Ⅰ）证明：把n=1代入S_n=2a_n+3n-12，
得a₁=2a₁+3-12，解得a₁=9，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n+3n-12）-[2a_n-1+3（n-1）-12]=2a_n-2a_n-1+3 
∴a_n-3=2a_n-1-6=2（a_n-1-3），
∵a₁-3=9-3=6，
∴{a_n-3}是首项为6，公比为2的等比数列．
∴a_n-3=6•2^n-1，
∴a_n=6•2^n-1+3=3（2ⁿ+1）．
（Ⅱ）∵b_n=na_n=3n（2ⁿ+1）
∴T_n=3（1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ）+

3n(n+1)

2

，①
设A=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2A=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺²，
两式相减，得：A=n×2ⁿ⁺¹-（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=n×2ⁿ⁺¹-

2(1−2n)

1−2

=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，代入①式得
T_n=3[（n-1）•2ⁿ⁺¹+2）+

3n(n+1)

2

=3（n-1）•2ⁿ⁺¹+

3n(n+1)

2

+6．