题目

已知函数f（x）=x²+2x，数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）的图象上，且过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若bn＝2kn•an，求数列{b_n}的前n项和为T_n；
（Ⅲ）设Q={x|x=k_n，n∈N*}，R={x|x=2a_n，n∈N*}，等差数列{c_n}的任一项c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数，110<c₁₀<115，求{c_n}的通项公式．

提问时间：2020-11-01

答案

（Ⅰ）∵点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，
∴Sn＝n2+2n．
当n=1时，a₁=S₁=3；
当n≥2时，an＝Sn−Sn−1＝n2+2n−(n−1)2−2(n−1)＝2n+1，
当n=1时，也满足．
故a_n=2n+1．
（Ⅱ）由f（x）=x²+2x求导可得，f′（x）=2x+2
∵过点P_n（n，S_n）的切线的斜率为k_n，∴k_n=2n+2．
又∵bn＝2kn•an，
∴bn＝22n+2•(2n+1)＝4(2n+1)•4n．
∴Tn＝4×3×4+4×5×42+4×7×43+…+4（2n+1）•4ⁿ…①
由①×4可得：4Tn＝4×3×42+4×5×43+4×7×44+…+4（2n+1）•4ⁿ⁺¹…②
①-②可得：−3Tn＝4•[3×4+2•(42+43+…+4n)-（2n+1）•4ⁿ⁺¹]
=4•[3×4+2•

42(1−4n−1)

1−4

-（2n+1）•4ⁿ⁺¹]．
∴Tn＝

6n+1

9

•4n+2−

16

9

．
（Ⅲ）∵Q={x|x=2n+2，n∈N^*}，R={x|x=4n+2，n∈N^*}
∴Q∩R=R，又∵c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数，
∴c₁=6，∴c₁₀=4m+6，m∈N^*，（{c_n}的公差是4 的倍数!）
又∵110<c₁₀<115
∴

110<4m+6<115 m∈N*.

解得m=27，
∴{c_n}的公差是12，
∴c_n=12n-6．

（Ⅰ）根据点在函数图象上，则点满足函数解析式，得到S_n的表达式，进而求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据题中条件求出kn的表达式，结合（1）求得的数列{a_n}的通项公式，即可求得数列{b_n}的通项公式，进而可以利用错位相消法求出数列{b_n}的前n项和T_n．
（Ⅲ）由“Q={x|x=2n+2，n∈N^*}，R={x|x=4n+2，n∈N^*}”求得交集，再由“c_n∈Q∩R，其中c₁是Q∩R中的最小数”可求得c₁=6．最后由{c_n}是公差是4的倍数求得c₁₀=4m+6，则110＜c₁₀＜115求解即可．

本题考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；数列的求和；数列与函数的综合．

考点点评：本题集函数、导数、数列、不等式于一体，体现了知识间的交汇与融合，同时又考查了数列的基本解题方法，考查了学生分析问题和解决问题．强调在“知识的交汇处”命制试题，是近年高考命题的趋势．