当前位置: > 已知函数f(x)=x2+2x,数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (...
题目
已知函数f(x)=x2+2x,数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若bn2knan,求数列{bn}的前n项和为Tn
(Ⅲ)设Q={x|x=kn,n∈N*},R={x|x=2an,n∈N*},等差数列{cn}的任一项cn∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,110<c10<115,求{cn}的通项公式.

提问时间:2020-11-01

答案
(Ⅰ)∵点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,
Snn2+2n
当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,anSnSn−1n2+2n−(n−1)2−2(n−1)=2n+1
当n=1时,也满足.
故an=2n+1.
(Ⅱ)由f(x)=x2+2x求导可得,f′(x)=2x+2
∵过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn,∴kn=2n+2.
又∵bn2knan
bn22n+2•(2n+1)=4(2n+1)•4n
Tn=4×3×4+4×5×42+4×7×43+…+4(2n+1)•4n…①
由①×4可得:4Tn=4×3×42+4×5×43+4×7×44+…+4(2n+1)•4n+1…②
①-②可得:−3Tn=4•[3×4+2•(42+43+…+4n)-(2n+1)•4n+1]
=4•[3×4+2•
42(1−4n−1)
1−4
-(2n+1)•4n+1].
Tn
6n+1
9
4n+2
16
9

(Ⅲ)∵Q={x|x=2n+2,n∈N*},R={x|x=4n+2,n∈N*}
∴Q∩R=R,又∵cn∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数,
∴c1=6,∴c10=4m+6,m∈N*,({cn}的公差是4 的倍数!)
又∵110<c10<115
110<4m+6<115
m∈N*.
解得m=27,
∴{cn}的公差是12,
∴cn=12n-6.
(Ⅰ)根据点在函数图象上,则点满足函数解析式,得到Sn的表达式,进而求得数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)根据题中条件求出kn的表达式,结合(1)求得的数列{an}的通项公式,即可求得数列{bn}的通项公式,进而可以利用错位相消法求出数列{bn}的前n项和Tn
(Ⅲ)由“Q={x|x=2n+2,n∈N*},R={x|x=4n+2,n∈N*}”求得交集,再由“cn∈Q∩R,其中c1是Q∩R中的最小数”可求得c1=6.最后由{cn}是公差是4的倍数求得c10=4m+6,则110<c10<115求解即可.

数列与不等式的综合;等差数列的通项公式;数列的求和;数列与函数的综合.

本题集函数、导数、数列、不等式于一体,体现了知识间的交汇与融合,同时又考查了数列的基本解题方法,考查了学生分析问题和解决问题.强调在“知识的交汇处”命制试题,是近年高考命题的趋势.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.