题目

（超难）求算数列极限
已知实数数列An,满足递推公式A(n+1)=sin(An)+1,求lim(x→∞)An.
经测试,这个极限确实存在,且与A1取值无关,请高手们试证.

提问时间：2020-11-01

答案

因为：An=sin(An-1)+1属于[0,2]
在[-1,2]上sinx>x,所以sin(An-1)>An-1
所以An>An-1+1>An-1
所以An是增函数,单调有界,极限一定存在
由An=sinAn+1
即 x=sinx+1
解出x,即为极限.