题目

一个正三棱台的上底和下底的周长分别为12cm和18cm,而侧面积等于两底面积之和.
1）求三棱台的斜高,
2）求该正三棱台的体积

提问时间：2020-11-01

答案

假设该正三棱台为ABC-A'B'C'
∴△ABC和△A'B'C'都为正三角形
所以AB=4,A'B'=6
等边△ABC中,轻易可求出其面积S1=4√3
等边△A'B'C'中,轻易可求出其面积S2=9√3
一面的侧面积为等腰梯形,面积S=(4+6)h/2,共有三个面
所以就有3*(4+6)h/2=4√3+9√3
即可解出侧面高h=13√3/15,此即为斜高
假设AH⊥A'B'于点H,AH即为斜高,A'H=1
在△AA'H中可得,AA'=√244/75
点A射影在底面上为点P,依题可得A'P=2√3/3
在直角三角形AA'P中,AP即为三棱台的高
应用勾股定理的AP=4√3/5
V=(1/3)[S1+√(S1S2)+S2] ×h
=(1/3)[4√3+√(4√3*9√3)+9√3] ×4√3/5 =76/5
不知道计算对不对……
你自己斟酌点的算