题目

直线L：y＝k（x－5）与圆O：x²+y²=16相交与A,B两点,当k变动时,弦AB的中点M的轨迹方程
这种求点轨迹的问题打死我都做不起…

提问时间：2020-11-01

答案

解法1、
当x=5时,代入直线L中,得y=0,所以L过点M（5,0）
因为L交圆于A、B两点,而AB中点为C,设中点C坐标为（x0,y0)
连接CO,CO垂直AB
则有CO^2+MC^2=OM^2
即(x0^2+y0^2)+(x0-5)^2+y0^2=25
化简得：（x0-5/2）^2+y0^2=25/4
即C(x0,y0)满足方程：（x-5/2）^2+y^2=25/4
所以AB中点轨迹是以（5/2,0）为圆心,半径为5/2的圆
还有一种常见的解法：
解法2、
解方程组y＝k（x－5）x²+y²=16消去y得到关于x的一元二次方程
用韦达定理求出x1+x2的值,（结果含K）,利用y1+y2=k(x1-5)+K(x2-5)来求y1+y2（结果也含K）
设A、B中点C坐标为（x0,y0)则有x0=(x1+x2)/2(结果含K)
有y0=(y1+y2)/2=(结果含K)再把这两式消去K,得到关于x0,y0的方程,这就是AB点C的轨迹方程