题目

已知函数f(x)＝

3

sinπx+cosπx，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）求函数f（x）的单调增区间．

提问时间：2020-11-01

答案

（1）∵f(x)＝

3

sinπx+cosπx=2(

3

2

sinπx+

1

2

cosπx)=2sin(πx+

π

6

)，
∴函数f（x）的最小正周期T＝

2π

π

＝2，又∵x∈R，∴−1≤sin(πx+

π

6

)≤1，
∴−2≤2sin(πx+

π

6

)≤2，∴函数f（x）的值域为 {y|-2≤y≤2}．
（2）由2kπ−

π

2

≤πx+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得2k−

2

3

≤x≤2k+

1

3

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调增区间为[2k−

2

3

，2k+

1

3

](k∈Z)．

（1）利用两角和正弦公式化简函数f（x）的解析式，求出周期，由−1≤sin(πx+

π

6

)≤1，求得函数f（x）的值域．
（2）由2kπ−

π

2

≤πx+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，求得2k−

2

3

≤x≤2k+

1

3

，k∈Z，即得函数的单调增区间．

本题考点：正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题考查两角和正弦公式，正弦函数的单调性，周期性，和值域，化简函数f（x）的解析式，是解题的突破口．