题目

已知0＜x≤π/4,求函数y=csc2x+tanx的最小值.
如题,用三角方程的有解条件做比较方便（acosx
+bsinx=c的有解条件为a^2+b^2≥c^2.

提问时间：2020-11-01

答案

y=csc2x+tanx＝1/(2sinxcosx)＋tanx＝sec²x/[(2sinxcosx)sec²x]＋tanx
＝(1＋tan²x)/(2tanx)＋tanx＝3tanx/2＋1/(2tanx)≥2√(3/4)＝√3
当且仅当3tanx/2＝1/(2tanx)时,取得“＝”
∴3tan²x＝1 ∴tanx＝√3/3 ∵0＜x≤π/4 ∴x＝π/6
∴当x＝π/6时,y=csc2x+tanx有最小值√3
∵acosx+bsinx=c ∴√(a²＋b²)[a/√(a²＋b²)cosx+b√(a²＋b²)sinx]＝c
∴√(a²＋b²)sin(x＋θ)＝c 其中tanθ＝a/b
∴要使acosx+bsinx=c有解,即sin(x＋θ)＝c/√(a²＋b²)有解
∴sin(x＋θ)≤1 ∴c/√(a²＋b²)≤1 ∴a²＋b²≥c²