题目

已知椭圆C的中心在原点,对称轴为坐标轴,左右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的一点,三角形PF1F2的周长为6
椭圆C的方程为X^2/4+Y^2/3=1.
A（1,1.5）为椭圆C上的定点,E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值

提问时间：2020-11-01

答案

设E（x1,y1） F（x2,y2）.直线EF方程为y=kx+m
由kAE+kAF=0得
4kx1x2+2m（x1+x2）+6=（x1+x2）（2k+3）+4m①
联立直线与椭圆得
x²（4k²+3）+8kmx+4m²-12=0
由韦达定理得x1+x2=-8km/4k²+3 x1x2=4m²-12/4k²+3
代入①得4k²-8k+3=2m（1-2k）②
要使②式成立,只需4k²-8k+3=1-2k=0
解得k=1/2
即直线EF斜率为定值1/2