题目

已知数列{a_n}为等比数列．T_n=na₁+（n-1）a₂+…+a_n，且T₁=1，T₂=4
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求{T_n}的通项公式．

提问时间：2020-11-01

答案

（1）设等比数列{a_n}的公比为q，则T₁=a₁，T₂=2a₁+a₂=a₁（2+q）．
∵T₁=1，T₂=4，代入解得a₁=1，q=2．
∴a_n=2^n-1．
（2）设S_n=a₁+a₂+…+a_n，则S_n=1+2+…+2^n-1=2ⁿ-1
∴T_n=na₁+（n-1）a₂+…+2a_n-1+a_n=a₁+（a₁+a₂）+…+（a₁+a₂+…+a_n-1+a_n）
=S₁+S₂+…+S_n=（2-1）+（2²-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2+2²+…+2ⁿ）-n=

2(1−2n)

1−2

-n=2ⁿ⁺¹-n-2