题目

(1) 证明：当a>1时,不等式a^3+1/a^3>a^2+1/a^2成立...
2) 要使上述不等式成立,能否将条件a>1适当放宽?若能,请放宽条件并说明理由.若不能,也请说明理由
(3) 请根据（1）（2）的证明,试写出一个类似的更为一般的结论

提问时间：2020-10-31

答案

(1)
证：a^3＋1／a^3-（a^2＋1／a^2）
=1／a^3（a^6+1-a^5-a）
=1／a^3（a^5-1）（a-1）
∵a＞1
∴1／a^3（a^5-1）（a-1）>0
a^3＋1／a^3-（a^2＋1／a^2）>0
a^3＋1／a^3＞a^2＋1／a^2>0
(2)若a0
a>0,a^3>0
两边 x a^3 得
a^6+1>a^5+a
a^6-a^5-a+1>0
a^5(a-1)-(a-1)>0
(a^5-1)(a-1)>0
a>1时,a^5-1>0,a-1>0 不等式成立
a0且a≠1时,对任意实数x,y,x>y,x+y>0,证明：a^x + 1/a^x > a^y + 1/a^y.
证：a^x + 1/a^x - (a^y + 1/a^y) = (a^x - a^y)(1- 1/(a^(x+y)))
当00,则a^x + 1/a^x - (a^y + 1/a^y) >0.
所以a^x + 1/a^x > a^y + 1/a^y.