题目

设直线l：y=k（x+1）与椭圆x的平方+3y的平方=a²（a＞0）相交于A.B两个不同的点,与x轴相
设直线l：y=k（x+1）与椭圆x的平方+3y的平方=a²（a＞0）相交于A.B两个不同的点,与x轴相交于点C,记O为坐标原点,
（1）证明：a的平方＞（3*k的平方）/（1+3*k的平方）
（2）若向量AC=向量2CB,求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程

提问时间：2020-10-31

答案

第一个问题：
联立：y＝k（x＋1）、x^2＋3y^2＝a^2,消去y,得：x^2＋3［k（x＋1）］^2＝a^2,
∴x^2＋3k^2（x^2＋2x＋1）－a^2＝0,∴（1＋3k^2）x^2＋6k^2＋3k^2－a^2＝0.
∵直线y＝k（x＋1）与椭圆x^2＋3y^2＝a^2有两交点,
∴方程（1＋3k^2）x^2＋6k^2＋3k^2－a^2＝0有两不等实根,
∴判别式＝36k^4－4（1＋3k^2）（3k^2－a^2）＞0,
∴9k^4－（3k^2－a^2＋9k^4－3k^2a^2）＞0,　∴－3k^2＋a^2＋3k^2a^2＞0,
∴（1＋3k^2）a^2＞3k^2,　∴a^2＞3k^2/（1＋3k^2）.
第二个问题：
∵向量AC＝2向量CB,　∴｜AC｜＝2｜CB｜,　∴｜AC｜/｜CB｜＝2.
令y＝k（x＋1）中的y＝0,得：k（x＋1）＝0.
显然k不能为0,否则O、A、B共线,无法构成三角形.∴x＝－1.
∴点C的坐标为（－1,0）,∴｜OC｜＝1.
∵点A、B都在直线y＝k（x＋1）＝kx＋k上,
∴可令点A、B的坐标分别为（m,km＋k）、（n,kn＋k）.
不失一般性,设点A在x轴的上方,则点B在x轴的下方.
分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E.
显然有：｜AD｜＝km＋k、｜BE｜＝－kn－k.
∵AD⊥ED、BE⊥ED,∴△ACD∽△BCE,∴｜AD｜/｜BE｜＝｜AC｜/｜CB｜＝2,
∴（km＋k）/（－kn－k）＝2,∴（m＋1）/（n＋1）＝－2,∴m＋1＝－2n－2,
∴n＝－（3＋m）/2.
由｜AD｜/｜BE｜＝2,得：｜AD｜＝2｜BE｜＝km＋k.
∴△OAB的面积
＝△OAC的面积＋△OBC的面积＝（1/2）｜OC｜｜AD｜＋（1/2）｜OC｜｜BE｜
＝（1/2）（｜AD｜＋｜BE｜）＝（1/4）（2｜AD｜＋2｜BE｜）
＝（1/4）［2（km＋k）＋（km＋k）］＝（3/4）（km＋k）.
显然,km＋k的取值范围是（0,b］,∴当km＋k＝b时,△OAB的面积最大.
改写椭圆方程,得：x^2/a^2＋y^2/（a/√3）^2＝1,∴b＝a/√3.
∴当△OAB的面积最大时,点A为椭圆的上顶点,∴此时点A的坐标为（0,a/√3）.
∴m＝0、km＋k＝a/√3,∴k＝a/√3.
由m＝0,得：n＝－（3＋m）/2＝－3/2,∴kn＋k＝（－3/2）a/√3＋a/√3＝－a/（2√3）.
点B的坐标为（－3/2,－a/（2√3））.
∵点B在椭圆上,∴（－3/2）^2＋3［－a/（2√3）］^2＝a^2,
∴9/4＋a^2/4＝a^2,∴9＋a^2＝4a^2,∴3a^2＝9,∴a^2＝3.
∴椭圆方程为：x^2＋3y^2＝3.