题目
已知函数f（x）=-√a/（a∧x+√a）（0＜a≠1）,证明函数f（x）的图像关于点（1/2,-1/2）对称
提问时间：2020-10-31
答案
函数f（x）的图像关于点（a,b）对称,
只需证明f(x)+f(2a-x)=2b即可.
f（x）=-√a/（a∧x+√a）
所以f(x)+f(1-x)
= -√a/(a^x+√a)-√a/(a^(1-x)+√a)
第二项的分子分母同乘以a^x可得下式
= -√a/(a^x+√a)- a^x*√a/(a+ a^x*√a)
第一项的分子分母同乘以√a可得下式
= -a/( a^x*√a +a) - a^x*√a/(a+ a^x*√a)
=-(a+ a^x*√a)/(a+ a^x*√a)
=-1,
∴函数f（x）的图像关于点（1/2,-1/2）对称.
只需证明f(x)+f(2a-x)=2b即可.
f（x）=-√a/（a∧x+√a）
所以f(x)+f(1-x)
= -√a/(a^x+√a)-√a/(a^(1-x)+√a)
第二项的分子分母同乘以a^x可得下式
= -√a/(a^x+√a)- a^x*√a/(a+ a^x*√a)
第一项的分子分母同乘以√a可得下式
= -a/( a^x*√a +a) - a^x*√a/(a+ a^x*√a)
=-(a+ a^x*√a)/(a+ a^x*√a)
=-1,
∴函数f（x）的图像关于点（1/2,-1/2）对称.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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