题目

在平面直角坐标系xOy中，点D（-2，4），E（-2，-2），F（5，5）都在圆C上．
（1）求圆C的方程；
（2）直线x-y+m=0与圆C交于A，B两点，OA⊥OB时，求m值．

提问时间：2020-10-31

答案

（本小题满分15分）（2011新课标高考题改）
（1）由点D（-2，4），E（-2，-2）坐标，设圆C的圆心为（a，1），
则有（a+2）²+（1-4）²=（a-5）²+（1-5）²，解得a=2．（4分）
则圆C的半径为

(2-5)2+(1-5)2

=5．
所以圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=25．（7分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐标满足方程组：

x-y+m=0 (x-2)2+(y-1)2=25.

消去y，得到方程2x²+2（m-3）x+m²-2m-20=0．（10分）
由已知可得，判别式△=-4m²-8m+196＞0．
从而x1+x2=3-m，x1x2=

m2-2m-20

2

①
由于OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，（12分）
又y₁=x₁+m，y₂=x₂+m，
所以2x1x2+m(x1+x2)+m2=0．②
由①②得m=-5或m=4，均满足△＞0，
故m=-5或m=4（15分）

（1）利用条件判断圆心位置，设出圆心坐标，然后求解圆的圆心与半径，即可求圆C的方程；
（2）联立直线x-y+m=0与圆C的方程，通过韦达定理，利用OA⊥OB的充要条件，推出关系式即可求m值．

本题考点：A:直线与圆的位置关系 B:圆的标准方程

考点点评：本题考查圆的方程的求法，直线与圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，观察分析推出圆心坐标是解题的突破口，也是优化解题过程的关键．