题目

函数f（x）=m+log_ax（a＞0且a≠1）的图象过点（8，2）和（1，-1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=2f（x）-f（x-1），求g（x）的最小值及取得最小值时x的值．

提问时间：2020-10-31

答案

（Ⅰ）由

f(8)＝2 f(1)＝−1

得

m+loga8＝2 m+loga1＝−1

，
解得m=-1，a=2，故函数解析式为f（x）=-1+log₂x，
（Ⅱ）g（x）=2f（x）-f（x-1）=2（-1+log₂x）-[-1+log₂（x-1）]=log2

x2

x−1

−1，其中x＞1，
因为

x2

x−1

＝

(x−1)2+2(x−1)+1

x−1

＝(x−1)+

1

x−1

+2≥2

(x−1)• 1 (x−1)

+2＝4
当且仅当x−1＝

1

x−1

即x=2时，“=”成立，
而函数y=log₂x-1在（0，+∞）上单调递增，则log2

x2

x−1

−1≥log24−1＝1，
故当x=2时，函数g（x）取得最小值1．

（1）根据题意，将点的坐标代入即可；（2）先求出g（x）的表达式，观察到函数是复合函数，故应该先研究真数的范围再利用对数函数的单调性求出最值．

本题考点：函数解析式的求解及常用方法；基本不等式．

考点点评：该题目第一问是送分的，第二问比较有难度，解题时应该注意复合函数的最值拆分开来求：本题先分离常数利用基本不等式求真数的范围，利用对数函数的单调性求出最值．