题目

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点B的坐标为（0，1），离心率等于

2

2

．斜率为1的直线l与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）问椭圆C的右焦点F是否可以为△BMN的重心？若可以，求出直线l的方程；若不可以，请说明理由．

提问时间：2020-10-31

答案

（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
则由题意知b=1．∴

a2-b2 a2

=

2

2

．
即

1- 1 a2

=

2

2

．∴a²=2．
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）假设椭圆C的右焦点F可以为△BMN的重心，设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程，消去y得
3x²+4mx+2m²-2=0
由△=24-8m²＞0得m²＜3
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴x1+x2=-

4

3

m
∵F（1，0），∴1=

x1+x2+xM

3

=-

4m

9

∴m=-

9

4

，不满足m²＜3
故直线l方程不存在．

（1）由题意知b=1，

a2−b2 a2

＝

2

2

，由此能够导出椭圆C的方程．
（2）假设椭圆C的右焦点F可以为△BMN的重心，设直线l方程为y=x+m，代入椭圆方程，消去y得
3x²+4mx+2m²-2=0，利用三角形的重心公式可求

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

考点点评：本题以椭圆的几何性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，关键是联立方程，利用韦达定理求解．