题目

关于隐函数求导问题理解的3个例子
1、求函数的微分：
x-y-e^y=0
解法1：
方程两边对x求导函数：
x-y(x)-e^y(x)=0
1-y'-(e^y)y'=0
∴ y'=1/(1+e^y)
∴dy=1/(1+e^y)dx
解法2
不管x、y是自变量还是因变量,利用微分形式不变性,两边微分
dx-dy-e^ydy=0
∴dy=1/(1+e^y)dx
这个两边微分就是两边对x求导吗?
这个过程有点迷糊,请解释一下
同样的,第2个例子：
已知函数y=y(x)是方程arctan(y/x)=ln√(x^2+y^2)所确定,求y''
这个题也是两边对x求导得；
[(y/x)'x]/[1+(y/x)^2]=(x^2+y^2)'/2(x^2+y^2)
对这一步为什么要这样做也不明白
3、设dx/dy=1/y'
求(dx)^2/dy^2
过程是这样的：
(dx)^2/dy^2
=(dx/dy)'y
=(1/y')'y
=-[(y'x)'y]/y'^2
=-[y''(1/y')]/y'^2
=-y''/y'^3
这个题也不明白
感觉那个二阶导数是对谁求导很迷糊
例外,
如果这个题是对3、4这种高阶求导也是这样做吗?

提问时间：2020-10-31

答案

1、由微分的运算法则d(u±v)=du±dv这里d(x-y-e^y)=dx-dy-d(e^y)有微分形式的不变性dy=dy,d(e^y)=e^ydy所以可以得到dx-dy-e^ydy=02、方程arctan(y/x)=ln√(x²+y²)两边对x求导就是(y/x)'/[1+(y/x)²]=[...