题目

已知函数f(x)=

x3

3

+

1

2

ax2+2bx+c的两个极值分别为f（x₁），f（x₂），若x₁，x₂分别在区间（0，1）与（1，2）内，则b-2a的取值范围是（　　）
A. （-4，-2）
B. （-∞，2）∪（7，+∞）
C. （2，7）
D. （-5，2）

提问时间：2020-10-31

答案

∵函数f(x)=

x3

3

+

1

2

ax2+2bx+c
∴f′（x）=x²+ax+2b=0的两个根为x₁，x₂，
∵x₁，x₂分别在区间（0，1）与（1，2）内
∴

f′(0)＞0 f′(2)＞0 f′(1)＜0

⇒

b＞0 a+b+2＞0 a+2b+1＜0

画出区域图得
∴b-2a∈（2，7），
故选C．

先根据导函数的两个根的分布建立a、b的约束条件，然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可．

本题考点：利用导数研究函数的极值．

考点点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用线性规划的知识解题，属于基础题．