题目

已知f（x）=2x-

1

2

提问时间：2020-10-31

答案

（I）f′(x)＝2−x，g′(x)＝

1

xlna

∵h（x）=f（x）-g（x）在定义域上为减函数
∴h′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立即

1

lna

≥−x2+2x在（0，+∞）上恒成立
即

1

lna

≥  ( −x2+2x)maxx∈（0，+∞）
令u（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1≤1
∴

1

lna

≥1
∵h′（x）存在零点
∴x2−2x+

1

lna

＝0在(0，+∞)上有根
∴△＝4(1−

1

lna

)≥0
∴

1

lna

≤1
∴lna=1即a=e
（II）∵g（x）=lnx，p（x）=e^x
令F（x）=ex(x−x2)−ex+ex2(x＜x2)
F′（x）=e^x+e^xx-x₂e^x-e^x=（x-x₂）e^x＜0
∴F（x）在（-∞，x₂）上递减
∴ex1(x1−x2)＞ex1−ex2
即ex1＜

ex1−ex2

x1−x2

同理

ex1−ex2

x1−x2

＜ex2
所以有P（x₁）＜P（x₀）＜P（x₂）