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题目
已知椭圆的中心在原点,两焦点F1,F2在x轴上,且过点A(-4,3).若F1A⊥F2A,求椭圆的标准方程.

提问时间:2020-10-31

答案
设所求的椭圆标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)

∵F1A⊥F2A,∴
F1A
F2A
=0

∴(-4+c,3)•(-4-c,3)=0,
化为16-c2+9=0,解得c=5.
联立
16
a2
+
9
b2
=1
a2=b2+52
,解得
a2=40
b2=15

故所求椭圆的标准方程为
x2
40
+
y2
15
=1
设所求的椭圆标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
.利用F1A⊥F2A,⇔
F1A
F2A
=0
,可得c.再利用
16
a2
+
9
b2
=1
a2b2+52
,解出即可.
故所求椭圆的标准方程为
x2
40
+
y2
15
=1

椭圆的简单性质.

熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系是解题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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