题目

设T为正交阵,x为n维列向量,若|T|
1,设T为正交阵,x为 n 维列向量,若 |Tx| = 2,则 |x|=?
2,设A为 n 阶是对阵矩阵,证明：A是正定矩阵的充分必要条件是,存在正定矩阵B,使得:A = B.B
3,已知矩阵 A={(0,x,1),(0,2,0),(4,0,0)}有三个线性无关的特征向量,则 x=?

提问时间：2020-10-31

答案

1.|x|=2 （对于任意正交矩阵T和与之同阶的向量x有|Tx|=|x|）
2.必要性：设l(1),l(2),...,l(n)是正定矩阵A的特征值,则存在n阶正交矩阵P,使得
A= P diag(l(1),l(2),...,l(n)) P'
令（sqrt()表示开平方）
B= P diag(sqrt(l(1)),sqrt(l(2)),...,sqrt(l(n))) P'
则B是正定矩阵且A=B^2.
充分性：如果A=B^2,其中B正定,则x'Ax = x'B'Bx = |Bx|^2 >= 0,等号成立当且仅当Bx=0,因为B可逆,故当且仅当x=0,因此A是正定的.
3.x=0.因为A的特征多项式为φ(λ)=(λ+2)(λ-2)^2,它有三个线性无关的特征向量,则属于特征值2的特征子空间是2维的,因此A的最小多项式是(λ+2)(λ-2),即A^2=4I,比较此等式两端得x=0.