题目

有关不等式证明放缩法的应用举例
类似于1+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2
我对于此类问题不太理解,望多多指教!谢谢

提问时间：2020-10-31

答案

1+1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[(n-1)*n]>1+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2 >1/(1*2)+1/(2*3)+...+1/[n*(n+1)]
所以：
1+1-1/n>1+1/2^2+1/3^2+……+1/n^2 >1-1/(n+1)
放缩法是不等式证明中一种常用的方法,也是一种非常重要的方法.在证明过程中,适当地进行放缩,可以化繁为简、化难为易,达到事半功倍的效果.但放缩的范围较难把握,常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象.因此,使用放缩法时,如何确定放缩目标尤为重要.要想正确确定放缩目标,就必须根据欲证结论,抓住题目的特点.下面举几个例子说明这个问题.
例 1 已知 ,求证：
分析 由可想到二项式系数的和为,由可想到二项式定理,利用放缩法把转化成构造出二项式定理公式,从而得出结论.
证明 设且.
对任意,有
将上述各式叠加：
例 2 求证：
分析 左式是n个因式连乘的形式,应把各因式化为分式,通过放缩,使之能交替消项,达到化简的目的.由于右式是,因此所放缩后的因式应与有关.
证明
例 3
分析 左式很难求和,可将右式拆成n项相加的形式,然后证明右式各项分别大于左式各项,叠加得出结论.
证明
总之,如何确定放缩的尺度,是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题.但是,只要抓住了欲证命题的特点,勤于观察和思考,许多问题都能迎刃而解.
（选自《中学生数学》期刊 2001年1月上