题目

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2倍根号2 ,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC． （Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小．
(;;;;;°∇°) 不接受百度来的答案!毕竟我自己已经摆渡过了.
度娘上有人提问过这道题了,不过我觉得思路是错的(′▽`〃).

提问时间：2020-10-31

答案

这道题条件简单,结论精炼,算是设计比较巧妙的一题.答案不重要,说一下思路吧
1、若要证明PC垂直BED,眼见的条件只有BD垂直平面PAC,即PC垂直于BD；所以必须找到PC垂直的另外一条在BED内的直线；看起来要么是BE或ED,要么是OE（O是AC与BD的交点）；如果是OE的思路,这个容易一点,易知AC、OC、PA、PC、EC的长度,用三角形相似可得角OEC=角PAC,所以OE就垂直PC了；如果是BE或ED的思路,必须利用勾股定理,可设AB=a,求出PB、BE和PE,发现符合勾股定理,问题也可得证；
2、二面角A-PB-C为90度,这个一般作为结论的命题现在变成了条件,到底怎么应用,相信这个是本题的第一个难点或盲点；事实上,从这个条件出发,只需利用一点即可：从A作AG垂直PB,交PB于G,可知AG垂直PBC；又因为BC垂直于PA,所以BC垂直于AB（这是一个具有转折意义的重要结论,可以总结出一条类似定理的命题：如果两个相互垂直的平面中,其中一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面内不垂直于交线的直线,那么第一条直线一定垂直于另外一个平面）.
BC垂直AB的结论,主要用于知道底面由菱形升级为正方形,然后再求PD与PBC的角；PD的长度可求,如果知道D到PBC的距离,那么就知道sin夹角的值了；关于PD的长度,也有两种方法,一种是利用AD//BC,等同于A到PBC的距离,即AG；另外一个是通过体积,即三棱锥PBCD的体积,BCD的面积XPA=PBC的面积XD到PBC的距离.两个都可算出D到PBC的距离,除以PD就是夹角的正弦,为1/2,所以夹角是30度.