题目

已知椭圆x^2/5+y^2/3=m^2/2,过右焦点且斜率为1的直线交椭圆与A,B,M为AB中点,射线OM交椭圆与N点
证明OA+OB=ON(向量)?
我证明的时候老是把上面的当成已知条件 .

提问时间：2020-10-31

答案

证明:
[[1]]
不妨假设m＞0.
椭圆(x²/5)+(y²/3)=m²/2.
a²=(5m²)/2. b²=(3m²)/2. c²=a²-b²=m²
∴该椭圆右焦点F(m, 0).
同时,椭圆方程可化为6x²+10y²=15m².
由题设可知,直线AB的方程可设为y=x-m.
把这个直线方程与椭圆方程联立,整理可得
16x²-20mx-5m²=0
设A(x1, x1-m),B(x2, x2-m)
由韦达定理可得
x1+x2=(5m)/4
∴由中点坐标公式可知,M(5m/8, -3m/8)
[[2]]
假设线段OP的中点为M.即OM=MP.
由中点坐标公式及O(0,0),M(5m/8, -3m/8)可得
P(5m/4, -3m/4)
显然,很容易地验证x=5m/4, y=-3m/4满足方程
6x²+10y²=15m²
∴点P(5m/4, -3m/4)在这个椭圆上.
结合题设可知,两点P, N 重合,
∴在四边形OANB中,就有OM=MN,且AM=BM.
∴四边形OANB是平行四边形.
由向量加法的平行四边形法则可知
OA+OB=ON.
证毕