题目

已知函数f(x)=3^x+(x-2)/(x+1) (1)判断函数零点个数；（2）找出零点的区间

提问时间：2020-10-31

答案

高一的解法：
①,把f(x)=3^x+(x-2)/(x+1)变形为3^x+1-3/(x+1),
    令u(x)=3^x+1和v(x)=3/(x+1),那么f(x)=u(x)-v(x).
    倘若存在零点（X1,0）,应该满足u(x1)-v(x1)=0.
②,如插图所示,分别做出u(x)=3^x+1和v(x)=3/(x+1)的图像.
【提示：】3^x+1比3^x偏上一个单位；3/(x+1)比3/x偏左一个单位.
③,剩下的就看图吧【为了让图能够精确一点点的表达,我在图片上标明了一些特殊点】.
  首先,在红色虚线【即x=-1的直线】左边,绿色线减去红色线总是大于零的.
  然后,在红色虚线右边,分两种情况：
   【1】在蓝色点左边,绿色线低于红色线,u(x)-v(x)<0
   【2】在蓝色点右边,绿色线又重新并且总是高于红色线,u(x)-v(x)>0.
所以,只有一个交点,也就是一个零点.零点区间如图所示.