题目

在平面直角坐标系xOy中,过点P（0,2）任做一条与抛物线y=ax方（a>0）交于两点的直线,设焦点分别为A,B若角AOB等于90° （1）判断A,B亮点纵坐标的乘积是否是一个定值,并说明理由； （2）确定抛物线y=ax方（a>0）的解析式； （3）当三角形AOB的面积为4倍根号2时,求直线AB的解析式；

提问时间：2020-10-31

答案

(1),过点P（0,2）的直线方程：y=kx+2
因直线和抛物线相交所以:ax²-kx-2=0
设直线与抛物线分别为A（x1,x1²),B(x2,x2²)
x1*x2=-2/a
角AOB等于90°则（ax1²/x1）*（ax2²*x2）=-1 a=1/2
x1*x2=-1,1/2 x1²*1/2x2²=4
A,B亮点纵坐标的乘积在AOB等于90°时等于定值4
（2)抛物线y=1/2x²
（3）依题OA²*OB²=4*32
（x1²+²y1²)(x2²+y2²)=4*32,y1=kx1+2,y2=kx2+2,x1+x2=2k ,x1x2=-4
解得K=2或者k=-2
所以直线AB的解析式为 y=2x+2 或 y=-2x+2