题目

设A,B,C,D是半径为R的球面上的四点,且AB,AC,AD两两相互垂直,则△ABC,
△ABD,△ACD面积之和S△ABC+S△ABD+S△ACD的最大值为（ ）
A.R^2
B.3R^2
C.4R^2
D.2R^2
晕 题目选项里面都没有这个答案
R^2代表的是R的平方

提问时间：2020-10-31

答案

答案选D
首先,△ABC确定一个小圆,设其圆心H,半径为r,∠ABC=α,
因为AB⊥AC,所以BC是小圆的直径,
BC=2r
AB=BCcosα=2rcosα
AC=BCsinα=2rsinα
连接AH并延长与球交于点P,DP的中点记为O,
则OH为△ADP的中位线,所以OH‖AD,AD=2OH
因为AD⊥AB,AD⊥AC,所以AD⊥面ABC,所以AD⊥AP,
所以△ADP又确定一个圆,DP是其直径,O是圆心,
OH‖AD,AD⊥面ABC,所以OH⊥面ABC,
所以△ADP确定的圆是大圆,O是球心,OB=R,设∠OBC=β,则
r=OBcosβ=Rcosβ
OH=OBsinβ=Rsinβ
AD=2OH=2Rsinβ
综上所述,
AB=2rcosα=2Rcosαcosβ
AC=2rsinα=2Rsinαcosβ
AD=2Rsinβ
所以
S=S△ABC+S△ABD+S△ACD
=0.5AB*AC+ 0.5AB*AD+0.5AC*AD
=0.5*2Rcosαcosβ*2Rsinαcosβ+ 0.5*2Rcosαcosβ*2Rsinβ+0.5*2Rsinαcosβ*2Rsinβ
=2R²cosαcos²βsinα+2R²cosαcosβsinβ+2R²sinαcosβsinβ
=2R²[cosαsinαcos²β+(cosα+sinα)cosβsinβ]
运用均值不等式cosα+sinα≥2√(cosαsinα)得
cosαsinα≤0.25(cosα+sinα)²,所以
S≤2R²[0.25(cosα+sinα)²cos²β+(cosα+sinα)cosβsinβ]
对于cosα+sinα应该已经很熟悉了,
cosα+sinα=√2sin(α+π/4),当α=π/4时取得最大值√2.所以
S≤2R²[0.25(√2)²cos²β+(√2)cosβsinβ]
=2R²[0.5cos²β+(√2)cosβsinβ]
运用半角公式有
S≤2R²[0.25(1+cos2β)+(√2/2)sin2β]
=2R²[0.25+0.25cos2β+(√2/2)sin2β]
=2R²[0.25+0.75cos(2β-φ)] (tanφ=2√2)
≤2R²[0.25+0.75]
=2R²