题目

设X,Y,Z为实数,2X,3Y,4Z成等比数列,且1／X,1／Y,1／Z成等差数列,则X/Z+Z/X的值是

提问时间：2020-10-31

答案

因为2x,3y,4z成等比数列,那么2x*4z=(3y)^2,8xz=9y^2；
因为1/x,1/y,1/z成等差数列,那么(1/x)+(1/z)=2/y,(x+z)/xz=2/y；
两式左右两边分别相乘得：
8(x+z)=18y
x+z=(9/4)y
两边平方得：
x^2+z^2+2xz=(81/16)y^2；
x^2+z^2=(81/16)y^2-2xz
又由8xz=9y^2得：xz=(9/8)y^2,综合上式得：
x^2+z^2=(81/16)y^2-2*(9/8)y^2=(45/16)y^2
所以：
x/z+z/x
=(x^2+z^2)/xz
=[(45/16)y^2]/(9/8)y^2
=(45/16)/(9/8)
=5/2