题目

已知正实数x，y，z满足2x（x+

1

y

+

1

z

）=yz，则（x+

1

y

）（x+

1

z

）的最小值为______．

提问时间：2020-10-31

答案

∵正实数x，y，z满足2x（x+

1

y

+

1

z

）=yz，
∴x²+x（

1

y

+

1

z

）=

1

2

yz，
∴（x+

1

y

）（x+

1

z

）=x²+x（（

1

y

+

1

z

）+

1

yz

=

1

2

yz+

1

yz

≥2

1 2

=

2

．
当且仅当yz=

2

，取得最小值

2

．
故答案为：

2

．

将条件变形为x²+x（

1

y

+

1

z

）=

1

2

yz，则所求的式子展开即为

1

2

yz+

1

yz

，运用基本不等式，即可求得最小值．

本题考点：基本不等式；二项式定理的应用．

考点点评：本题考查基本不等式的运用，注意满足的条件：一正二定三等，注意消元和变形，属于中档题．