题目

有没有两个相邻的自然数是互质的?
提错了，有没有不是互质的？

提问时间：2020-10-31

答案

相邻的两个自然数一定互质,正确.假设a和b是相邻的两个自然数,c为它们的公约数,则c│a,c│b,所以c│b-a,即c│1,显然只有c=1故a和b互质.对于两个自然数为0和1的特殊情况,因为有a│0(a是任意整数）,1的约数只有1,则0和1的最大公约数为1,即互质.

两个质数一定互质,这是错误的.严格地说,应该是两个不同的质数互质.即a和b都是质数,且a≠b,则(a,b)=1.证明吗?简单.因为a的质数只有1和a本身,所以(a,b)=1或a,如果(a,b)=a,那么有a│b,但是a≠b,所以b是合数,这显然与b是质数矛盾.所以(a,b)=1,即a和b互质.