题目

在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,若∠C=90°,如图（1）,根据勾股定理,则a^2+b^2=c^2.若△ABC不是直角三角形
^2的关系,并证明你的结论.

提问时间：2020-10-31

答案

在任意△ABC中,设c为最大边,那么∠C就是最大角
即,∠C＞∠B≥∠A
所以,∠A+∠B+∠C＜∠C+∠C+∠C=3∠C
又,在三角形ABC中,∠A+∠B+∠C=180°
所以：3∠C＞180°
即：60°＜∠C＜180°,且∠C≠90°……………………（1）
而,在△ABC中,根据余弦定理有：
c^2=a^2+b^2-2abcosC………………………………………（2）
所以,由(1)知,当60°＜∠C＜90°时,cosC＞0
那么,由(2)知道：
c^2＜a^2+b^2
当90°＜∠C＜180°时,cosC＜0
那么,由(2)知道：
c^2＞a^2+b^2
综上：
当c为最大边时：
1)若△ABC为锐角三角形,那么就有：c^2＜a^2+b^2
2)若△ABC为钝角三角形,那么就有：c^2＞a^2+b^2
当然,
3）若△ABC为直角三角形,那么就有：c^2=a^2+b^2
当△ABC为锐角三角形时,
作CD⊥AB,垂足D,设AD=m,则BD=c-m
根据勾股定理有：
b²-m²=CD²,（a-m)²+CD²=c²
即（a-m)²+b²-m²=c²
a²-2am+b²=c²
a²+b²-c²=2am＞0（a,m都是正数）
所以a²+b²＞c²
若△ABC为钝角三角形,
b²-m²=CD²,（a+m)²+CD²=c²
a²+2am+b²=c²
c²-（a²+b²）=2am＞0
所以c²＞a²+b²