题目

已知函数f（x）满足：
①定义域为R；
②∀x∈R，有f（x+2）=2f（x）；
③当x∈[0，2]时，f（x）=2-|2x-2|.记φ(x)＝f(x)−

|x|

(x∈[−8，8]).
根据以上信息，可以得到函数φ（x）的零点个数为（　　）
A. 15
B. 10
C. 9
D. 8

提问时间：2020-10-31

答案

根据题意，作出函数y=f（x）（-8≤x≤8）的图象： 在同一坐标系里作出g(x)＝|x|(x∈[−8，8])的图象，可得两图象在x轴右侧有8个交点．所以φ(x)＝f(x)−|x|(x∈[−8，8])有8个零点，∵任意的x，有f（x+2）=2f（...

根据条件：③当x∈[0，2]时，f（x）=2-|2x-2|可以作出函数图象位于[0，2]的拆线，再由∀x∈R，有f（x+2）=2f（x），可将图象向右伸长，每向右两个单位长度，纵坐标变为原两倍，由此可以作出f（x）的图象，找出其与g(x)＝

|x|

(x∈[−8，8])的交点，就可以得出φ（x）的零点，问题迎刃而解．

本题考点：函数零点的判定定理．

考点点评：此题考查了函数与方程的知识，考查了转化与化归和数形结合的数学思想，由函数的三条件基本性质进行分解，从而确定出函数f（x）在[-8，8]上的分段函数解析式，作出函数图象是本题的突破点．