题目
已知函数y=log1/a (a^x)*loga^2 (1/ ax) (2≤x≤4) 的最大值为0,最小值为-1/8,求a的值
提问时间:2020-10-31
答案
y=log(1/a,a^x)×log(a^2,1/ax)(前一个是底,后一个是真数)
=log(a,a^x)/log(a,1/a)×log(a,1/ax)/log(a,a^x)(换底公式)
=x/(-1)×[-1+log(a,1/x)]/x
=1-log(a,1/x)
其中2≤x≤4,y最大值为0,最小值为-1/8.
显然,y是单调函数,
(1)若x=2时,y=0,则
1=log(a,1/2),a=1/2;
但对应的,x=4时,y=1-log(1/2,1/4),y=1-2=-1≠-1/8
故a=1/2舍去
(2)若x=4时,y=0,则
1=log(a,1/4),a=1/4;
但对应的,x=2时,y=1-log(1/4,1/2)=1-1/2=1/2≠-1/8
故a=1/4舍去.
【】莫非理解错题目了?
注:对数的换底公式
log(x,y)=log(a,y)/log(a,x),(其中0<a、x<1或a、x>1,y>0)
=log(a,a^x)/log(a,1/a)×log(a,1/ax)/log(a,a^x)(换底公式)
=x/(-1)×[-1+log(a,1/x)]/x
=1-log(a,1/x)
其中2≤x≤4,y最大值为0,最小值为-1/8.
显然,y是单调函数,
(1)若x=2时,y=0,则
1=log(a,1/2),a=1/2;
但对应的,x=4时,y=1-log(1/2,1/4),y=1-2=-1≠-1/8
故a=1/2舍去
(2)若x=4时,y=0,则
1=log(a,1/4),a=1/4;
但对应的,x=2时,y=1-log(1/4,1/2)=1-1/2=1/2≠-1/8
故a=1/4舍去.
【】莫非理解错题目了?
注:对数的换底公式
log(x,y)=log(a,y)/log(a,x),(其中0<a、x<1或a、x>1,y>0)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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