题目

已知直线l过点P（3，2），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．

提问时间：2020-10-31

答案

由题意设直线方程为

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），∴

3

a

+

2

b

=1．
由基本不等式知

3

a

+

2

b

≥2

3 a • 2 b

，
即ab≥24（当且仅当

3

a

=

2

b

，即a=6，b=4时等号成立）．
又S=

1

2

a•b≥

1

2

×24=12，
此时直线方程为

x

6

+

y

4

=1，即2x+3y-12=0．
∴△ABO面积的最小值为12，此时直线方程为2x+3y-12=0

设出直线的截距式方程，利用基本不等式求出ab的最小值，推出a，b的值，即可求出直线方程，得到面积的最值．

本题考点：A:基本不等式在最值问题中的应用 B:直线的截距式方程

考点点评：本题考查直线方程的求法，截距式方程的应用，基本不等式的应用，基本知识的考查．